1、垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧． 垂径定理的实质可以理解为：一条直线，如果它具有两个性质：(1)经过圆心；(2)垂直于弦，那么这条直线就一定具有另外三个性质：(3)平分弦，(4)平分弦所对的劣弧，(5)平分弦所对的优弧(如图所示)． 如果将定理的条件与结论一个换一个或两个换两个，就可得到九个逆命题，并能证明它们都是真命题．教科书把较重要的作为推论l，而其余的作为练习题。

2、总之，一条直线，如果它五个性质中的任何两个成立，那么它也一定具有其余三个性质． 推论1 (1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。

3、 (2)弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧； (3)平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧， 推论1的实质是：一条直线(如图) (1)若满足：i)经过圆心，ii)平分弦，则可推出:iii)垂直于弦，iv)平分弦所对的劣弧，v)平分弦所对的优弧． (2)若满足：i)垂直于弦，ii)平分弦。

(资料图片)

4、则可推出：iii)经过圆心，iv)平分弦所对的劣弧，v)平分弦所对的优弧． (3)若满足；i)经过圆心，ii)平分弦所对的一条弧，则可推出：iii)垂直于弦，iv)平分弦，v)平分弦所对的另一条弧． 推论2 圆的两条平行弦所夹的弧相等． 如图中，若AB‖CD，则AC＝BD 注意：在圆中，解有关弦的问题时，常常需要作“垂直于弦的直径作为辅助线。

5、 三、例题分析： 例1．如图，AB是⊙O的直径，弦CD与AB相交，过A，B向CD引垂线，垂足分别为E，F，求证：CE=DF。

6、 证明：过O作OM⊥CD于M， ∴CM=DM， ∵AE⊥CD，BF⊥CD， ∴AE//OM//FB， 又∵O是AB中点， ∴M是EF中点（平行线等分线段定理）， ∴EM=MF， ∴CE=DF。

7、 说明：此例是垂径定理及平行线等分线段定理相结合构成的命题。

8、由于C、D两点是轴对称点，欲证CE=DF，那么E，F也必是轴对称点，由于E，F是垂足，那么E，F也应关于某条垂线成轴对称点，这样，这两个知识的结合部分仍是含有共同的对称轴。

9、 例2．已知△ABC内接于⊙O，且AB=AC，⊙O的半径等于6cm，O点到BC的距离为2cm，求AB的长。

10、 分析：因为不知道△ABC是锐角三角形，还是钝角三角形（由已知分析，△ABC不会是直角三角形，因为若是直角三角形，则BC为斜边，圆心O在BC上，这与O点到BC的距离为2cm矛盾），因此圆心有可能在三角形内部，也可能在三角形外部，所以需分两种情况进行讨论： （1）假若△ABC是锐角三角形，如图，由AB=AC， 可知， ，∴点A是弧BC中点， 连结AO并延长交BC于D，由垂径推论 可得AD⊥BC，且BD=CD，这样OD=2cm， 再连结OB，在Rt△OBD中OB=6cm， 可求出BD的长，则AD长可求出， 则在Rt△ABD中可求出AB的长。

11、 （2）若△ABC是钝角三角形，如图， 连结AO交BC于D，先证OD⊥BC， OD平分BC，再连结OB，由OB=6cm， OD=2cm，求出BD长，然后求出AD的长， 从而在Rt△ADB中求出AB的长。

12、 略解：（1）连结AO并延长交BC于D，连结OB， ∵AB=AC， ∴ ，∴AD⊥BC且BD=CD， ∴OD=2，BO=6， 在Rt△OBD中，由勾股定理得：BD===4， 在Rt△ADB中，AD=OA+OD=8， 由勾股定理可得：AB===4(cm) （2）同（1）添加辅助线求出BD=4， 在Rt△ADB中，AD=AO-OD=6-2=4， 由勾股定理可得：AB===4(cm)， ∴AB=4cm或4cm。

13、 说明：凡是与三角形外接圆有关的问题，一定要首先判断三角形的形状，确定圆心与三角形的位置关系，防止丢解或多解。

14、 例3．已知如图：直线AB与⊙O交于C，D，且OA=OB。

15、 求证：AC=BD。

16、 证明：作OE⊥AB于点E， ∴CE=ED， ∵OA=OB， ∴AE=BE， ∴AC=BD。

17、 请想一下，若将此例的图形做如下变化，将如何证明。

18、 变化一，已知：如图，OA=OB， 求证：AC=BD。

19、 变化二：已知如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D两点，求证：AC=BD。

20、 说明：这三道题的共同特点是均需要过点O作弦心距，利用垂径定理进行证明，所变化的是A，B两点位置。

21、 例4．如图，⊙O的直径AB和弦CD相交于点E，已知AE=1cm，EB=5cm，∠DEB=600，求CD的长。

22、 解：作OF⊥CD于F，连结OD， ∵AE=1，EB=5， ∴AB=6，∴OA==3， ∴OE=OA-AE=3-1=2， 在Rt△OEF中， ∵∠DEB=600， ∴∠EOF=300，∴EF=OE=1， ∴OF==， 在Rt△OFD中，OF=，OD=OA=3， ∴DF===(cm)， ∵OF⊥CD，∴DF=CF， ∴CD=2DF=2(cm) 说明：因为垂径定理涉及垂直关系，所以就可出现与半径相关的直角三角形，求弦长，弦心距，半径问题，常常可以利用弦心距、半径和半弦组成一个直角三角形，用其性质来解决问题，因而，在圆中常作弦心距或连结半径作为辅助线，然后用垂径定理来解题。

本文分享完毕，希望对大家有所帮助。